Matematiikka (todistus)

Käsitteitä

Tasasivuinen kolmio: kaikki sivut yhtä pitkät, kaikki kulmat 60°

Kolmion ympäri piirretty ympyrä: kolmion kärkien kautta kulkeva ympyrä.

Kehäkulmalause: Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret. (Internetix; Väisälä, s. 85)

Supplementtikulmat: Kulmien summa on 180°, siis α + β = 180°.

Lause: Jos nelikulmion vastakkaiset kulmat ovat supplementtikulmia, niin sen ympäri voidaan piirtää ympyrä. (Väisälä, s. 89)

Vieruskulmat: Kulmien summa on 180° ja toinen kylki on yhteinen.

Todistus

Voit seurata todistuksen etenemistä alla olevasta GeoGebra-sovelluksesta.

Olkoon F janojen BQ ja CR leikkauspiste. Koska kolmiot ARB, BPC ja CQA ovat tasasivuiset, 60° kierto pisteen A ympärille vie R:n B:lle ja C:n Q:lle. Kierto vie siis janan RC janaksi BQ. Tällöin ∢QFC = ∢BFR = 60°.

Piirretään ympyrä kolmioiden ARB ja CQA ympäri.

Koska ∢BAR on kehäkulma ja ∢BAR = ∢BFR saadaan kehäkulmalauseen mukaan, että ∢BFR on kehäkulma ja piste F on tällöin kolmion ARB ympärysympyrällä.

Vastaavalla tavalla voidaan myös päätellä, että piste F on kolmion CQA ympärysympyrällä. ( Koska ∢CAQ on kehäkulma ja ∢CAQ = ∢CFQ tiedämme kehäkulmalauseen mukaan, että ∢BFR on kehäkulma ja piste F on tällöin kolmion CQA ympärysympyrällä. )

Nyt saadaan ∢BFC = 180° − ∢BFR = 180° − 60° = 120°. (vieruskulmat)

Kulmat ∢BFCja ∢BPC ovat toistensa supplementtikulmia, joten nelikulmion BPCF ympäri voidaan piirtää ympyrä. Tästä seuraa, että piste F on myös kolmion BPC ympärysympyrällä ja täten ∢BFP = ∢BCP = 60°(samat perustelut kuin ennen).

Kulmat ∢AFB ja ∢BFP ovat vieruskulmia (120° + 60° = 180°), joten piste F on myös suoralla AP.

Piste F on kaikilla janoilla AP, BQ ja CR.

∴ F on janojen leikkauspiste.

GeoGebra (havainnollistus)

Voit kokeilla ja tarkastella todistusta myös visuaalisesti alla olevan sovelluksen avulla.